愛知数論セミナー

２０２６年３月１４日

（第６２回）

愛知数論セミナー

第一講演： 13:30 〜 14:00

講演者：大西良博氏 (名城大学)

講演題目： Enjoying numerical computation on double sine functions

講演概要：新谷卓郎氏の有名な論文「On a Kronecker limit formula for real quadratic fields」にある 2 重 Γ 函数の漸近展開式を PARI/GP で計算機に実装することで, 同論文にある実例や同氏による解説記事「代数体の L-函数の特殊値について」に挙げられた計算例を再現し, その確かさを実感することができる. もちろん他に多くの例を確認することもできるし, 2 重 sine 函数の特殊値に関する山本修司氏の例や小野寺一浩氏による予想も精密計算で実感することができる.（以上は主に鵜飼伸也氏による.）この様な計算をより広く行なふことで, 2 重 Γ 函数や 2 重 sine 函数に親しむことは, 新谷予想に接近する上で意味のあることだと考へる. さて, Weierstrass の楕円函数の周期等分多項式は, 通常 Eisenstein 級数 g_2, g_3 を介して考察される. 講演者は 2 重 sine 函数について, g_2 や g_3 に相当するのは Stirling modular forms かも知れない, と感じたので, 最近, Stirling modular form を変数とした 2 重 sine 函数の“等分多項式”の係数の変化を数値実験してみた. 今回, その様子を紹介したい. 但し, 新たな結果につながる知見が得られた訳ではないし, この様な計算はすでになされてゐるのかも知れない.

第二講演： 14:30 〜 15:30

講演者：青木美穂氏 (島根大学)

講演題目：代数体におけるチェビシェフの偏り

講演概要：有限次代数体のガロア拡大において, フロベニウス共役類が固定されたガロア群の元の共役類と一致する素イデアルの密度は一定であり, チェボタレフの密度定理によって与えられている. 一方有限の範囲においては偏りが生じることが知られている. 例えばチェビシェフの偏りと呼ばれる未解決問題は, ガウス数体において分解しない素イデアルが分解する素イデアルより現れやすい現象を扱うものである. 一般の有限次代数体のガロア拡大における素イデアルの偏りの大きさは, アルティンのL関数の中心値での零点の位数とガロア群の構造を用いて定式化することができ, オイラー積の中心値での収束（深リーマン予想）と同値であることが知られている（小山・青木）. 講演では, 虚二次体上のアーベル拡大やガロア群が四元数群と同型になるような有理数体上の非可換ガロア拡大に対し上記の偏りを検証した計算データを紹介する.

第三講演： 16:00 〜 17:00

講演者：小山信也氏 (東洋大学)

講演題目：素数の新たな偏りと「−1 (mod N)」の優位性

講演概要：「非剰余間の偏り」という新しいタイプの素数の偏りを発見したことを報告する。算術級数における素数分布の偏り（チェビシェフの偏り）は、古くより平方剰余類に対する平方非剰余類の優位性として知られている。しかし、平方非剰余グループ内における微細な偏りについては、これまで明確な定式化がなされてこなかった。本講演では、深リーマン予想 Deep Riemann Hypothesis (DRH) の仮定下で導出される新たな漸近式に基づき、平方非剰余類の中でも $p \equiv -1 \pmod N$ となる素数が最強の偏りを持つという性質（$-1$ の優位性）を明らかにする。数値例として、法 $N=7, 11, 19$ における計算結果を提示する。初期の数域では複素指標に由来する振動項の影響で順位が混迷するものの、計算範囲を拡大するにつれて、理論的予測通り $p \equiv -1\pmod{N}$ が他の非剰余を圧倒し、最強の偏りへと収束していく動態を報告する。さらに、この「$-1$ の優位性」が、ディリクレ指標の群構造において位相が実軸上に完全に同期することに起因する幾何学的な必然であることを、理論と実測の両面から考察する。

会場

名城大学天白キャンパス共通講義棟東 E-201

住所：〒468-8502 名古屋市天白区塩釜口一丁目501番地

※ 会場へのアクセス方法：交通案内

17:30 くらいから、懇親会を予定しております。人数把握のため、懇親会の申し込みを 3/6(金) 午後８時までにこちらからお願いします。

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